j'ai besoin d'aide.on demande d'étudier la fonction x exposant x.merci pour vous tous

Pour étudier x^x, on l'écrit f(x)=e^(xlnx)
Cette fonction est définie sur IR+ :
x=0, f(x)=1
x>0, f(x)=e^(xlnx)
La fonction n'est pas dérivable en 0 car
lim(x-->0+)(e^(xlnx)-1)/x=lim(x-->0+)((e^(xlnx)-1)/(xlnx))*lnx)=-oo
On note g(x)=xlnx
Donc f(x)=e^g(x)
f'(x)=g'(x)e^g(x)
g'(x)=lnx+x*1/x=lnx+1
Donc f'(x)=(lnx+1)e^(xlnx)
e^xlnx>0 donc le signe de f'(x) dépend de lnx+1
lnx+1≥0
⇔lnx≥-1
⇔x≥e^-1
⇔x≥1/e
Donc f est décroissante sur [0;1/e] et croissante sur [1/e;+oo[
Par ailleurs f(x) tend vers +oo en +oo
Son minimum est atteint en x=1/e et f(1/e)=e^(1/e*ln(1/e))=e^(-1/e)